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   Ingeniería Mecánica. Vol. 15. No. 1, enero-abril, 2012, p. 44-53 ISSN 1815-5944 Sitio web: http://www.ingenieriamecanica.cujae.edu.cu  44 Artículo   Original   Modelación   matemática   de   la   flotación   de   la   maza   superior   de   los   molinos   de   caña   de   azúcar   Mathematical   model   for   instant   flotation   of    top   shaft   in   sugar   cane   mills   Mario   Javier   Cabello ‐ Ulloa I ,   Juan   José   Cabello ‐ Eras I ,   Jorge   Moya ‐ Rodríguez II ,   Rafael   Goytisolo ‐ Espinosa I ,   José   Alberto   Velásquez ‐ Pérez III ,   Juan   Rafael   Mestizo ‐ Cerón III   I   Universidad   de   Cienfuegos   Carlos   Rafael   Rodríguez.   Facultad   de   Ingeniería   Mecánica.   Cienfuegos.   Cuba   Correo   electrónico:   mjcabello@ucf.edu.cu   II   Universidad   Central   Marta   Abreu   de   Las   Villas.   Facultad   de   Ingeniería   Mecánica.   Santa   Clara.   Cuba   III   Universidad   Veracruzana.   Facultad   de   ingeniería   Mecánica.   Veracruz.   México   Recibido:   17   de    junio   de   2011   Aceptado:   2   de   octubre   de   2011   Resumen   En el presente trabajo se desarrolla un modelo matemático de la flotación de la maza superior de los molinos de caña de azúcar durante su funcionamiento, determinado a partir de mediciones experimentales de dicha magnitud en el tiempo. Se realiza un ajuste adecuado a los valores medidos experimentalmente y se obtiene una función analítica que permitirá considerar los efectos de la flotación en el estudio del funcionamiento y en los métodos de cálculo de los molinos y sus elementos. Se aplica a un molino en el Complejo Agroindustrial 14 de Julio en Cienfuegos. Se modelan cien segundos de funcionamiento obteniéndose una función que expresa la flotación la que al ser derivada permite obtener la velocidad y aceleración con que varía la flotación instantánea. Los coeficientes y sus bondades son dados matricialmente para todos los ajustes efectuados al construir la función que define la flotación instantánea obtenida en este caso. Palabras   claves:  molino de caña de azúcar, flotación instantánea, modelación, cinemática del molino. Abstract    A mathematical model for the instant flotation of the top shaft of sugar cane mill is developed and analytical function for introduce in the study of other sugar cane mills parts is obtained. The model is applied to July 14th sugar factory in Cienfuegos. One hundred seconds of work is modeled and a functions for floating, velocity and acceleration of floating are obtained. The coefficients and their goodness are given in matrix for all the fits made for to build the function that defines the instant flotation obtained in this case. Key   words:  sugar cane mill, instant flotation, modeling, mill kinematics.   Modelación matemática de la flotación de la maza superior de los molinos de caña de azúcar Ingeniería Mecánica. Vol. 15. No. 1, enero-abril, 2012. ISSN 1815-5944 45 Introducción   El molino de caña tiene la función de extraer el jugo a la caña de azúcar y su configuración actual data de 1947 [1], está compuesto por tres maza y una cuchilla central y la extracción se produce al comprimir la caña entre estos elementos como se muestra en la figura 1. Fig. 1.  Principio de trabajo de un molino de caña. Fuente: Elaboración propia El colchón de bagazo tiene altura variable, en los primeros molinos la distancia entre ejes de las mazas y los espacios por los que pasaba la caña eran constantes, esto ocasionó sobrecargas en los elementos con frecuentes roturas y en 1881 se patentó el primer molino con distancia entre ejes variable [2], en el que la maza superior estaba apoyada sobre resortes que le permitían flotar. Desde 1910 se introdujo el primer molino con mecanismo hidráulico para permitir la flotación de la maza superior, lo que incrementó notablemente la capacidad de molienda. En la literatura se refiere la ocurrencia de fallas sorpresivas como una particularidad del trabajo de estas máquinas [3], [4] y [5]. Los elementos que más roturas de este tipo sufren son los ejes que soportan las mazas, conocidos como guijos, particularmente el de la maza superior [5], [6] y [7].  Al estudio de las fallas en los guijos y a la predicción de su vida útil se han dedicado varios trabajos [8], [9], [10] y [11] en todos se destaca la importancia de las cargas dinámicas para la ocurrencia de éstas, sin embargo en ninguno se toma en cuenta su influencia en los cálculos por no disponer de los modelos matemáticos requeridos. En opinión de los autores son tres las causas fundamentales de las cargas dinámicas en los molinos de caña. 1- La entrada del movimiento al molino se produce a través de un acoplamiento cuadrado, cuyo esquema se muestra en la figura 2, su velocidad instantánea de salida es variable lo que se transmite al guijo superior. Fig. 2.  Esquema del funcionamiento de la transmisión por acoplamiento cuadrado. Fuente [5]   Mario Javier Cabello Ulloa, Juan José Cabello Eras, Jorge Moya Rodríguez, Rafael Goytisolo Espinosa, et al   Ingeniería Mecánica. Vol. 15. No. 1, enero-abril, 2012. ISSN 1815-5944 46   Okamura  [12] y [13] analiza el funcionamiento de los acoplamientos cuadrados y desarrolla ecuaciones para determinar las cargas adicionales que introducen en el guijo superior, en éstas la excentricidad tiene un papel importante y por lo tanto su fluctuación también. 2- La transmisión del movimiento del guijo superior a los inferiores se realiza mediante coronas de molino, que son engranajes con perfil no evolvente y distancia entre centros variable como resultado de la flotación de la maza superior. Al estudio de la cinemática de estos engranajes se han dedicado varios trabajos [7], [14], [15] y [16], en uno de ellos se determina la carga dinámica que se produce por las características del perfil de los dientes de las coronas y considera el efecto de la flotación [7]. En los trabajos anteriores se destaca que la flotación de la maza superior incrementa la carga dinámica en estos engranajes aunque no se toma en cuenta. 3- La flotación de la maza superior. Este produce fluctuaciones instantáneas en la carga que actúa sobre los quijos y es resultado del grosor de colchón de bagazo que necesariamente varias dentro de ciertos límites. En la figura 3 se pueden apreciar los resultados de mediciones experimentales del torque requerido para el trabajo de los molinos [17] y [18] siendo evidente que existe una gran irregularidad en la carga durante su funcionamiento observándose variaciones de hasta un 30%. La mayor parte de estas irregularidades son debidas a las causas anteriormente señaladas, en las que la flotación de la maza superior tiene una marcada influencia. Fig. 3.  Registro de datos de un sistema con carga. Fuente: [17] El presente trabajo tiene el propósito de desarrollar un modelo matemático que describa la flotación de la maza superior y permita estudiar su efecto sobre los elementos del molino y considerarlos en sus cálculos.   Modelación matemática de la flotación de la maza superior de los molinos de caña de azúcar Ingeniería Mecánica. Vol. 15. No. 1, enero-abril, 2012. ISSN 1815-5944 47 Métodos    Arzola [5] midió experimentalmente en tiempo real los valores de la flotación del guijo superior en función del tiempo de trabajo del molino, los resultados obtenidos le permitieron determinar aproximadamente que porciento del tiempo de trabajo el valor de la flotación se encontraba dentro de cada uno de los cinco rangos en que la dividió, y considerarlo en la estimación de las cargas que el acoplamiento cuadrado introduce al guijo superior producto de la desalineación En un trabajo posterior [19], a partir de este análisis discreto de la cargas suplementarias que producen los acoplamientos cuadrados producto de la flotación, se analiza su influencia sobre la vida útil de los guijos y se concluye que “la durabilidad de los árboles de los molinos de caña de azúcar está marcada en gran medida por la desalineación que posea el árbol superior con respecto al árbol de salida del reductor de baja.” Sin embargo estas ecuaciones no permiten considerar la cinemática de la variación de la flotación en la determinación de las magnitudes de las cargas suplementarias. Mediante una instalación experimental similar a la que se empleada por Arzola [5], se midieron los valores de flotación instantánea en el CAI 14 de Julio en Cienfuegos. Las mediciones se realizaron de manera continua, en la figura 4 se muestran tres fracciones distintas de 180 segundos cada una. Fig. 4 . Flotación instantánea medida experimentalmente Los valores de la flotación son variables aleatoriamente en el tiempo pero en un rango determinado, lo que le hacen mantener un comportamiento funcionalmente cíclico y para lograr un buen ajuste se necesitan funciones de alto orden, y su comportamiento es similar a cuando se ajustan varios intervalos significativos y luego se integran mediante una función definida por partes. Para realizar el ajuste se define primeramente la muestra que se tomará. Resultados   y   discusión   Para la modelación se tomara el tiempo que demora en dar una revolución completa el árbol del molino, es decir el periodo de rotación del molino: TW     21  (1) Donde: T: tiempo que demora en dar una vuelta completa (s) W1: velocidad angular media del árbol del molino (rad/s) Si se toma un tiempo t m  de medición determinado se obtienen tantos intervalos consecutivos posibles como el número de veces que el periodo sumado de este tiempo, por lo que se puede obtener un número determinado de ajustes que pueden conformar los distintos intervalos de una función definida por partes, la que describe la variación de la distancia entre centros durante dicho tiempo de funcionamiento. Estas funciones podrán ser empleadas en cualquier modelo de cálculo que se pueda desarrollar para los molinos o sus partes.   Mario Javier Cabello Ulloa, Juan José Cabello Eras, Jorge Moya Rodríguez, Rafael Goytisolo Espinosa, et al   Ingeniería Mecánica. Vol. 15. No. 1, enero-abril, 2012. ISSN 1815-5944 48   Para modelar en un tiempo t m  determinado la cantidad de subíntervalos a ajustar será igual al número de vueltas que realice el árbol en ese tiempo y el tiempo de las mediciones a ajustar estará dado por los intervalos: () i iTtiT      1  (2) Donde: t i : tiempo de cada uno de los subintervalos a los que se le realizará el ajuste (s). i: números enteros que define los distintos intervalos a ajustar. : m tiT  1  t m : tiempo que se desea modelar la flotación. Para el molino donde se realizaron las mediciones la velocidad media de rotación fue: .. radWrpms   14805027  (3) Por lo que sustituyendo en la ecuación  1   se obtiene: .. Ts      2125005027  (4) Para modelar t m =100s de funcionamiento :: m tiT   118  por lo que serán 8 intervalos de flotación a ajustar. En la figura 5 se muestran la gráfica del ajuste de los 4 primeros subintervalos equivalentes a un periodo de rotación. Fig. 5.  Ajuste de cuatro intervalos de tiempo consecutivos Procesando las mediciones en el software MATLAB se realiza el ajuste a una función de suma de senos de octavo orden para cada uno de los 8 subintervalos de tiempo. Los ajustes realizados mostrados en la figura 5 responden a ecuaciones del tipo: sin() iijijiij j flotabtc       (5)
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