Montages Electroniques à base d`Amplificateurs Opérationnels

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Montages Electroniques à base d’Amplificateurs Opérationnels Stabilité des systèmes bouclés à base d’AOP Conversion du…
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Montages Electroniques à base d’Amplificateurs Opérationnels Stabilité des systèmes bouclés à base d’AOP Conversion du signal CAN et CNA Techniques de Filtrage analogique Filtrage passif Filtrage actif Filtres à capacités commutées Janvier 0000 Département de Génie Electrique et Informatique  JY. FOURNIOLS a class= __cf_email__ href= /cdn-cgi/l/email-protection data-cfemail= ff959a9e91d286899a8cd199908a8d919690938cbf96918c9ed28b938c9ad1998d [email protected] /a script data-cfhash='f9e31' type= text/javascript /* ![CDATA[ */!function(t,e,r,n,c,a,p){try{t=document.currentScript||function(){for(t=document.getElementsByTagName('script'),e=t.length;e--;)if(t[e].getAttribute('data-cfhash'))return t[e]}();if(t&&(c=t.previousSibling)){p=t.parentNode;if(a=c.getAttribute('data-cfemail')){for(e='',r='0x'+a.substr(0,2)|0,n=2;a.length-n;n+=2)e+='%'+('0'+('0x'+a.substr(n,2)^r).toString(16)).slice(-2);p.replaceChild(document.createTextNode(decodeURIComponent(e)),c)}p.removeChild(t)}}catch(u){}}()/* ]] */ /script 1 Table des Matières Stabilité des systèmes bouclés à base d’AOP 1. RAPPELS SUR L’AOP............................................................................................................................... 4 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2. RELATION TENSION D’ENTRÉE TENSION DE SORTIE .................................................................................... 4 ARCHITECTURE CLASSIQUE D’UN AOP...................................................................................................... 5 QUELQUES GRANDEURS PHYSIQUES........................................................................................................... 6 DISTORSION NON LINÉAIRE DU SIGNAL DE SORTIE ..................................................................................... 6 STABILITÉ D’UN SYSTÈME BOUCLÉ À BASE D’AOP .................................................................... 8 2.1. CONDITIONS DE STABILITÉ (RAPPELS) ....................................................................................................... 8 2.2. STABILITÉ D’UN AOP EN BOUCLE OUVERTE .............................................................................................. 8 2.3. STABILITÉ D’UN AOP EN BOUCLE FERMÉE ................................................................................................ 8 3. ETUDE DE LA STABILITÉ D’UN AOP EN BOUCLE FERMÉE PAR LE CRITÈRE DE CAUCHY. .............................................................................................................................................................. 9 3.1. APPLICATION DU THÉORÈME DE NYQUIST. .............................................................................................. 10 Conversion du signal 1 CONVERSION ANALOGIQUE-NUMÉRIQUE ................................................................................... 12 1.1 1.2 1.3 2 INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 12 RESTITUTION D’UN SIGNAL INITIAL APRÈS ÉCHANTILLONNAGE .............................................................. 12 RESTITUTION D’UN SIGNAL INITIAL APRÈS ÉCHANTILLONNAGE ET BLOCAGE D’UN SIGNAL .................... 13 CONVERSION NUMÉRIQUE-ANALOGIQUE ................................................................................... 14 2.1 CNA À SOMMATION DE COURANTS, À RÉSISTANCES PONDÉRÉES (C.N.A PARALLÈLE) ........................... 14 2.1.1 Utilisation du CNA à sommation de courants ............................................................................... 15 2.2 CNA À SOMMATION DE COURANTS, À ÉCHELLE RÉSISTIVES (C.N.A PARALLÈLE)................................... 16 2.3 CNA À TRANSFERT DE CHARGES (C.N.A SÉRIE) ..................................................................................... 18 2.3.1 Principe du transfert de charges ................................................................................................... 19 2.3.2 C.N.A série à transfert de charges ................................................................................................ 19 2.3.3 Réalisation d’un C.N.A série à transfert de charges ..................................................................... 20 3 CONVERSION NUMÉRIQUE-ANALOGIQUE ................................................................................... 22 3.1 3.2 CONVERSION ANALOGIQUE NUMÉRIQUE À CONVERSION SIMULTANÉE (FLASH)...................................... 22 CONVERSION ANALOGIQUE NUMÉRIQUE À RAMPE NUMÉRIQUE À 4 BITS ................................................ 24 Techniques de Filtrage analogique 4. GÉNÉRALITÉS SUR LES FILTRES ..................................................................................................... 26 4.1. DÉFINITIONS, TYPES DE FILTRES .............................................................................................................. 26 4.2. CLASSIFICATION DES FILTRES .................................................................................................................. 27 4.3. TEMPS DE PROPAGATION DE GROUPE D’UN FILTRE .................................................................................. 27 2 5. SYNTHÈSE DE FILTRES PASSIFS....................................................................................................... 27 5.1. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS IMMITANCES (ADMITTANCE ET IMPÉDANCE) .............................................. 27 5.2. PROPRIÉTÉS DES DIPÔLES LC ET RC........................................................................................................ 28 5.2.1. Dipôles LC..................................................................................................................................... 28 5.2.2. Dipôles RC .................................................................................................................................... 28 5.3. SYNTHÈSE DE DIPÔLES LC : MÉTHODE DE CAUER .................................................................................. 29 5.4. SYNTHÈSE DE DIPÔLES RC : .................................................................................................................... 30 5.4.1. Dipôle série : ................................................................................................................................. 30 5.4.2. Foster parallèle:............................................................................................................................ 30 6. NORMALISATION, TRANSFORMATION DE FILTRES PASSIFS ................................................ 31 6.1. GABARIT D’UN FILTRE RÉEL .................................................................................................................... 31 6.2. SÉLECTIVITÉ D’UN FILTRE RÉEL ............................................................................................................... 32 7. FILTRE PROTOTYPE, NORMALISATIONS...................................................................................... 32 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 8. NORMALISATION DE L’UNITÉ FRÉQUENCE ............................................................................................... 32 NORMALISATION DE L’UNITÉ D’IMPÉDANCE ............................................................................................ 33 TRANSFORMATION D’UN CIRCUIT PASSE-BAS EN CIRCUIT PASSE-HAUT ................................................... 33 TRANSFORMATION D’UN CIRCUIT PASSE-BAS EN CIRCUIT PASSE-BANDE ................................................. 34 TRANSFORMATION D’UN CIRCUIT PASSE-BAS EN CIRCUIT PASSE-BANDE ................................................. 35 FONCTIONS DE TRANSFERT DES FILTRES ................................................................................... 37 8.1. FONCTIONS DE TRANSFERT DES FILTRES D’AFFAIBLISSEMENT ................................................................. 37 8.2. FONCTIONS DE TRANSFERT DES FILTRES ANALYTIQUES ........................................................................... 38 8.2.1. Filtre de Butterworth..................................................................................................................... 38 8.2.2. Filtre de Tchebycheff..................................................................................................................... 40 8.2.3. Filtres de Legendre, de Cauer, de Bessel, de Paynter................................................................... 41 9. RÉALISATION DE FILTRES ACTIFS ................................................................................................. 47 9.1. INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 47 9.2. CRÉATION D’UNE « INDUCTANCE ÉQUIVALENTE »................................................................................... 47 9.2.1. A partir d’un convertisseur d’impédance généralisé (GIC) .......................................................... 47 9.2.2. SELF obtenue à partir d’un gyrateur ............................................................................................ 49 9.3. RAPPEL SUR LES SENSIBILITÉS DES FILTRES ACTIFS ................................................................................. 51 9.4. SYNTHÈSE DE FILTRES ACTIFS PAR DIFFÉRENTES MÉTHODES ................................................................... 52 9.4.1. Synthèse en cascade ...................................................................................................................... 52 9.4.2. Synthèses globales......................................................................................................................... 52 9.5. BLOCS DE BASE DES FILTRES CASCADÉS .................................................................................................. 53 9.5.1. Cellule du premier ordre :............................................................................................................. 53 9.5.2. Cellule du second ordre : .............................................................................................................. 54 9.5.3. Principe des filtres à variable d’état:............................................................................................ 57 9.6. RÉALISATION DE FILTRES ACTIFS COMPLEXES ......................................................................................... 61 9.6.1. Filtre passe-bas Tchebycheff ordre 5 :.......................................................................................... 61 9.6.2. Implémentation sur silicium d’un filtre LC avec des FDNR: ........................................................ 62 9.6.3. Synthèse « leap-frog » d’un filtre LC : .......................................................................................... 62 10. FILTRES À CAPACITÉS COMMUTÉES............................................................................................. 64 10.1. 10.2. 10.3. INTÉGRATEUR À CAPACITÉS COMMUTÉES ........................................................................................... 65 RÉALISATION TECHNOLOGIQUE DES INTERRUPTEURS ......................................................................... 65 TRANSFORMATION MONTAGES INTÉGRATEURS, EN FILTRES À CAPACITÉS COMMUTÉES ..................... 67 3 Ce document a été conçu avec l’objectif de présenter (de manière non exhaustive) la mise en œuvre matérielle de fonctions de transfert conduisant à la réalisation de filtres analogiques. Un des éléments de base du filtrage « analogique » est l’Amplificateur Opérationnel (AOP) pour lequel des rappels effectués, certains critères « électroniques » de stabilité en boucle fermée vont être étudiés. La seconde partie du document, présentera les techniques permettant de réaliser un filtre « analogique » à partir de son gabarit. Nous terminerons la présentation des méthodes de synthèse de filtres actifs, par la présentation du principe des filtres à capacités commutées. Partie I : Stabilité des montages bouclés à base d’AOP 1. Rappels sur l’AOP 1.1. Relation tension d’entrée tension de sortie ∝ ZMC Symbole IEEE / ANSI ZS V1 ε ZD 1   GVD + VMC  τ   avec VD = V1 − V2 V2 ZMC VMC = V1 + V2 2 VD tension d’entrée de mode différentiel, VMC tension de mode commun. 4 VS 1.2. Architecture classique d’un AOP Structure à deux étages d’un AOP (exemple du 741) Etage différentiel Etage de gain Translateur de niveau Emetteur Suiveur CMRR, G0, Re G’0 Rétablisseur de niveau 0 ou continu, référence le signal de sortie à la masse Rs Tout transistor Bipolaire nécessite un courant de polarisation de la base, noté IB. Démontrer l’influence du courant δI = IB+ - IB- appelé «courant d’offset » sur la tension de sortie dans le cas du montage « classique » suivant , où l’AOP est supposé parfait. Discuter selon les valeurs de Z3. Z2 Z1 V1 IBV2 IB+ Z3 5 … On démontre ainsi que pour diminuer l’influence du courant de polarisation moyen noté I et défini par : δI I B+ = I + 2 δI I B− = I − 2 il faudra assurer que les entrées In+ et In- soient connectées sur des circuits d’impédances égales. Remarque : On pourrait également conduire la même étude sur la tension de décalage liée aux tensions de base différentes sur l’entrée de l’étage différentiel. 1.3. Quelques grandeurs physiques Gain en Boucle Ouverte Bande Passante en Boucle Ouverte Taux de réjection Mode Commun Cas Idéal ∝ ∝ ∝ Cas Réel (valeurs typiques) ≥ 104 3 pôles (pôle dominant à 10 Hz) > 70 dB ∝ 0 0 0 ≥ 10MΩ < 500Ω < 0.5µA < 10mV <0.2nA (Common Mode Rejection Rate) Re Rs Ie V et I décalage 1.4. Distorsion non linéaire du signal de sortie Lorsqu’on applique un « grand signal »; la non linéarité de la caractéristique interne de l’AOP, va se répercuter sur le signal de sortie. Vo Vi Si on prend comme approximation de la zone de non linéarité, que la tension de sortie Vo varie en fonction de Vi2 (ou selon un polynôme de degré ≥ 2), quel que soit le type de signal en entrée pour Vi (sinusoïdal à fréquence pure ou décomposition en série de Fourier) on aura, soit pour la fréquence fondamentale, soit pour un harmonique n la relation : 6 1 1 − cos 2ω i t 2 2 Ce qui implique que la sortie va contenir un second harmonique. sin 2 ω i t = On mesure cette distorsion par le taux de distorsion non-linéaire, noté k et défini par la relation : k= Vin 22 + Vin32 + ... + Vinn2 + .... Vin H = t Vin1 Vin1 où : Vini est l’harmonique de rang i. Evolution de la distorsion en boucle fermée : On considère le montage en boucle ouverte suivant : * Calculer k en boucle ouverte * Calculer k en boucle fermée avec x’e tel que xs conserve la même amplitude qu’en boucle ouverte afin d’assurer que x2 reste le même. x2 = X2 cos2ωt G xs xe = X1 cosωt x2 = X2 cos2ωt x’e = X’1 cosωt xs G H On démontre ainsi que k Bf = k Bo . 1 + GH 7 2. Stabilité d’un système bouclé à base d’AOP 2.1. Conditions de stabilité (Rappels) Un système est stable si : ã il retourne vers son état d’équilibre lorsqu’il en est écarté, ou encore ã la réponse à une perturbation transitoire de durée finie s’évanouit, ou encore plus mathématiquement ã tous les signaux d’entrée bornés [x(t) est borné si |x(t)| ≤ Cste ∀t] produisent des signaux de sortie bornés N ( p) est stable si tous les pôles de F(p) [ qui en fait sont les racines de D(p) ] sont D( p) négatifs ou complexes conjugués à partie réelle négative. (Cela provient de la décomposition de F(p) en éléments simples qui par transformée inverse de Laplace donnera une somme d’exponentielles dont les termes convergent ou pas) F ( p) = 2.2. Stabilité d’un AOP en boucle ouverte La fonction de transfert « classique » d’un AOP fait apparaître 3 pôles. Elle s’écrira : G0 G ( p) = , (1 + T1 p )(1 + T2 p )(1 + T3 p ) d’où D( p ) = (1 + T1 p )(1 + T2 p )(1 + T3 p ) = Ap 3 + Bp 2 + Cp + 1 avec A, B, C >0, polynôme dont les 3 racines sont < 0. ⇒ A la mise sous tension, (ε=0 et Vs0 non nul), le réponse du système est une somme d’exponentielles à exposant <0, qui tendent vers 0. Un AOP en boucle ouverte en donc un système STABLE, il s’en suit que le nombre de pôles positifs de la fonction de transfert de G(p) en boucle ouverte est toujours NUL. Cette remarque prendra de l’importance lors de l’étude de la stabilité d’un système bouclé par le critère de Nyquist. 2.3. Stabilité d’un AOP en boucle fermée La stabilité d’un système bouclé de fonction de transfert g(p), définie par : G( p) g ( p) = 1 + G( p) H ( p) avec G0 G( p) = (1 + T1 p )(1 + T2 p )(1 + T3 p ) est donc déterminée par la nature des racines de son dénominateur D(p) dont l’appellation est généralement équation caractéristique du système. 8 Pour déterminer si le système est stable, on va résoudre l’équation caractéristique D(p)=1+G(p)H(p)=0 ou bien encore avoir recours à des critères algébriques ou graphiques. La complexité des systèmes va souvent orienter l’étude vers la résolution par des critères graphiques, où on effectue l’étude G(p)H(p) d’après le : ã critère du revers, (Nyquist, le lieu devant passer à droite du point –1, appelé point critique dans le plan de Nyquist) ã tracé dans le plan de Bode (marge de gain (≥0dB)et marge de phase(≥45°) pour f=fT. ã critère de Nyquist, issu du théorème de Cauchy. 3. Etude de la stabilité d’un AOP en boucle fermée par le critère de Cauchy. G ( p) , la 1 + G ( p) H ( p) stabilité du système dépend du nombre de pôles éventuellement positifs de g(p) ; pôles qui en fait sont les racines de l’équation caractéristique 1+G(p)H(p) =0. Si on considère la fonction de transfert en boucle fermée g(p), avec g ( p ) = Si il semble relativement facile de mettre le gaind e boucle G(p)H(p) sous la Ci ( p −
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